2006年高考湖南数学(文理两科)试题都特别注重考查数学结合思想，这与《教学大纲》的要求是一致的。本文通过分析这两套数学试题从哪些方面考查了学生的数形结合能力，来粗略地谈谈数形结合的重要性。

    1.迅速作出简图,找到解题突破口

     例1  (文科第4题)过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是

    A.π           B.2π

    C.3π          D.

    分析：学生审明题意后，要能马上作出如图1所示的简图，就能很快由已知条件求得截面圆半径为1，故选A。当然，也可不画图，直接在脑中想象出图形，那要空间想象能力强的学生才能做到。

    例2  (文科第13、理科第12题)已知

则x²+y²的最小值是     。

    分析：学生必须由线性约束条件熟练作出可行域(如图2中的阴影部分)，求得使x²+y²取最小值的A点的坐标(1,2)，从而很快得到正确答案是5。

    另外，理科第3题：过平行六面体ABCD-A­1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线有

    A.4条    B.6条    C.8条    D.12条    (答案为选项D)；

    文科第14题：过三棱柱ABC-A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有    条。    答案：  6

    理科第13题：曲线 和y =x²在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是       。

    答案： 3/4

    这三道题都要作出简图才好解答。

    2.由数联想形,解题思路直观

    例3 (文科第5、理科第4题)“a =1”是“函数f(x)=|x -a|在区间［1,+∞)上为增函数”的

    A.充分不必要条件               B.必要不充分条件

    C.充要条件                     D.既不充分也不必要条件

    分析：解答这道题必须联想到函数f(x)=|x -a|的图象是过点(a ,0)斜率为1和-1且在x上方的两条射线。只要a≤1就能保证函数f(x)=|x -a|在区间［1,+∞］上为增函数，故选答案A。

    例4  (文科第7题)圆x²+y²-4x-4y-10=0上的点到直线x +y -14=0的最大距离与最小距离的差是

    A.36          B.18          C.           D.

    分析：看到圆的一般方程就要联想到圆心坐标(2,2)和圆的半径 ,从而知道所求的差等于圆的直径，故选答案C。

    例5  (理科第10题)若圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为 ，则直线l的倾斜角的取值范围是

    A.       B.       C.          D.

    分析：由圆的一般方程要能马上联想到圆心坐标(2,2)和圆的半径 ,再由题意可知圆心到直线l的距离不大于 。经计算可知选答案B。

    3.由图形的几何特征找出数量关系,解题过程简捷

    例6  (文科第8题)设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是 ，则f(x)的最小正周期是

    A.2π           B. π           C.             D.

    分析：抓住函数f(x)=sinωx的图象是周期函数，对称中心到对称轴的距离的最小值正好是 个周期这一几何特征。很快就会选出正确答案B。

    点评：平时教学过程中要善于总结规律：三角函数图象的最大值点到相邻的最小值点之间的图象是半个周期；与 x 轴的两个相邻交点之间的图象是半个周期；过最值点且垂直x轴的直线是正弦曲线和余弦曲线的对称轴；图象与x的交点是三角函数图象的对称中心等。

    4.从分析题中的数量关系来确定题中图形的几何特性,抓住解题的关键

    例7  (文科第9、理科第7题)过双曲线 的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是

    A.            B.          C.            D.

    分析：由题意可知b≠1，若b <1，则渐近线的斜率的绝对值小于1，于是l与两条渐近线的交点在x轴的两侧，这时不满足|AB|=|BC|。从而b >1，可求出 。再由|AB|=|BC|求得b =3，故选答案D。

    5.密切结合立体图形与平面图形，计算快速准确

    例8  (理科第9题)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，

若过该球球心的一个截面如图3，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是

    A.             B.      C.              D.

    分析：解答该题须先画出立体图形(如图4)，注意到截面有两点在大圆上，所以截面过四面体 的一条棱(不妨设为AB)，又截面过球心，于是截面过棱CD的中点。

可知，截面为等腰△，该△底边是四面体的棱，长为2，两腰是四面体表面三角形的高，长为 。于是，不难求得正确答案为C。

    点评：解答立体几何题时，常常需要将立体图形和平面图形有机地结合起来考虑，除本例外，在解答平面图形的折叠问题时，对于那些折叠前后不改变性质的元素，往往放到折叠前的平面图形中去求解。

    6.对图形进行分析综合，解题思路清晰

    例9  (理科第15题)如图5，OM||AB，点P在由射线OM、线段OB

及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且 ，则x的取值范围是      ；当 时，y的

取值范围是       。

    分析：为求x的范围，可过P点作OA、OB的平行线，分别与OB及OA的 延长线相交(如图6)。可得x的取值范围是(-∞,0)。

     当 时，须延长AO至C，使 ，为求y的取值范围，把P

点取特殊位置，当点P在OM上时(如图7)，点P应是过C作OB的平行线与OM的交点，过P作OA的平行线交OB于D，不难证明△OPD与△OAB相似，相似比为1:2，即D

 是OB的中点，可知 ；

    当P点在AB的延长线上时(如图8)，同样不能证明△DPB与△OAB相似，相似比

为1:2，可得 ，即 。从而得到y的取值范围是 。

    同样的分析，可以解答文科第10题：

如图5， ，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且 ，则实数对 (x,y)可以是

    A.         B.       C.        D.

    7.从所给图形充分挖掘题中的隐含条件，掌握解题的钥匙

    例10  (理科第16题)如图9，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD =α,∠ABC =β。

    (Ⅰ)证明sinα+cos2β=0；

    (Ⅱ)若 ，求β的值。

    分析：要证明sinα+cos2β=0，就要知道α、β之间的关系，这种关系隐含在题目的条件之中，仔细观察题中直角△ABC，结合条件AB=AD，可得 ，把题中的这种隐含关系挖掘出来之后，解答这道题就不难了。

    培养识图能力的重要性还体现在本套试卷的立体几何题(文理科都是第18题，两道题很相似)，文科第18题：如图10，已知两个正四棱锥P -ABCD与Q -ABCD的高都为2，AB=4，

    (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

    (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

    (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离。

    分析：限于本文的篇幅，命题者提供的标准答案就不在这里重述。本文要指出的是：在解答了第(Ⅰ)、(Ⅱ)问后，只要认真观察图形，挖掘题中的隐含条件,就不难用等体积变换VP-QAD=VA-PQD快速解答第(Ⅲ)问。这比标准答案提供的解法一的计算要简单；比标准答案提供的解法二先证明后计算也要简单。

    由于本文的篇幅有限，在此仅仅指出：文科第19题(考查导数)、文科和理科的第21题(解析几何题，两题差别不大)，都要借助图形才能解答。大致统计一下，结果是：一套试题总共才21道题，文科就有6道选择题(4、5、7、8、9、10)、2道填空题(13、14)、3道解答题(18、19、21)；理科就有5道选择题(3、4、7、9、10)、3道填空题(12、13、15)、3道解答题(16、18、21)考查了数形结合思想。这充分说明数形结合的重要性。