数学是一门有着广泛应用的基础科学。它是各门科学，尤其是自然科学发展和进步的有力工具。对数学的研究有多个侧面，其中比较重要的是数学的工具性和数学作为思想体系的特征。
    正如“电子计算机之父”冯·诺意曼(von Neumann)所说的：“数学处于人类智能的中心区域”。数学的研究对于整个科学的发展都有着巨大的推动作用，同时，对数学作为思想体系研究的不断深入，也将促进人类认识思维的产生原因和作用方式。
    数学的历史和特点
    数学是产生较早的一门科学，最初的数学经历了长期的实践检验和丰富发展后才形成今天我们所见到的数学。最初的数学，是人类对自然现象一种经验性的描述，随后发展为一个逻辑严密的思想体系，而后又在各个方向开枝散叶，形成了庞大的数学体系。在数学不断发展的过程中，数学的许多特征也表现出来：数学的概念和方法具有很高的抽象性，数学的体系具有极强的逻辑严密性。这样两个基本的特征决定了数学应用的广泛性。
    数学的起源
    数学是一门研究空间形式和数量关系的科学，所以最初的数学概念就是“形”和“数”的概念。
    人们在长期的生产实践和生活实践中发现，事物之间是存在着区别的。一方面，它们的形态各不相同；另一方面，外在形态相同或相似的事物其多寡也不一样。所以经过实践和思考后，人们的头脑中产生了“形”和“数”的概念。
    这两个数学概念的产生，标志着人类认识水平的一次飞跃，因为这两个概念都是抽象性很强的概念。虽然事物的外在形态是可见的，但当点、线、面作为数学概念出现后，它们就已经脱离客观事物的外形而存在了。现实生活中我们找不到没有面积的点、没有宽度的线、没有厚度的面，就是因为它们已经成为了抽象的概念。而“数”的概念就更为抽象了。物体的颜色、温度、硬度等等都可以利用感知器官去感知；而物体数量的多寡却不能直接去感知，必须通过大脑的抽象加工才能够实现。“为了计数，不仅要有可以计数的对象，而且还要有一种在考察对象时撇开对象的其它一切特征而仅仅顾及到数目的能力”，这种能力，就是人类抽象思维的能力。
   “量”的概念的产生是有着十分重大的意义的：这是数学对整个科学体系的贡献。一门科学从定性描述进入了定量的分析和计算，是这门科学达到比较成熟阶段的标志。而实现定量分析的前提条件就是应用数学中“量”的概念及其有关定理。
    数学在其产生的过程中，就出现了抽象的概念。事实上，任何科学的产生都需要从自然界中抽象出一些概念，数学与其他自然科学不同的地方就在于数学概念的抽象深度和广度要高于其他科学。最初的抽象仅仅限于数学概念的抽象，在数学发展的过程中，又出现了数学方法的抽象。
    数学的发展
　数学从诞生的初期到蓬勃发展的今天，经历了一个由简单到复杂、由具体到抽象、由低级到高级、由现象到本质的过程。在这个过程中，数学从概念到方法都有了很大扩充。
初等数学时期（公元前6世纪至17世纪）
    最初的数学只能算是一种经验性的记录。它只有一些基本的概念和人们在长期的生产实践中认识到的基本的经验性规律，而并没有形成完整的数学体系。大约在公元前6世纪到公元前3世纪之间，经过毕达哥拉斯(Pythagoras)、柏拉图(Plato)、亚里士多德(Aristoteles)、欧几里德(Euclid)等一批哲学家、数学家的努力，零散的数学知识才组成了公理体系。这个体系以公理为基础，逻辑推导为手段；欧几里德《几何原本》的出版是数学史上最为重要的三个里程碑之一，它标志着数学开始了理性发展的历史。
    这个时期的数学，被称为“常量数学”，这个时期数学的主要成就是将零散的材料组织称为知识系统，人类已经初步掌握了算术、初等代数、初等几何、三角等知识。但在这个时期数学还停留在静止阶段，基本没有体现运动和变化的思想。
    近代数学时期（17世纪中期至19世纪末）
    17世纪是数学发展史上一个极为重要的世纪。17世纪以前，西方几何学的发展要明显领先于代数学，代数的问题往往转化为几何问题来解决，而笛卡尔(descartes)解析几何的诞生，却明显地显示了代数化的趋势。也正式由于解析几何的诞生，变量的概念开始进入数学。这直接决定了微积分的出现，虽然牛顿(Newton)与莱布尼兹(Leibniz)对微积分发明权的争论是科学史上不光彩的一页，但微积分的诞生是数学史上最为重要的三个里程碑之一。而概率论的出现则标志着研究非确定性现象的数学出现了。17世纪，对数概念被引入数学、坐标系和解析几何诞生、概率论的产生、数论研究的深入等等不一而足。可以说，17世纪数学史的转折点，标志着数学走出了它的童年时期，逐步成为一门高度抽象的科学。
    18世纪数学的中心人物是欧拉(Euler)，一位人类有史以来最伟大的数学家。很难用简短的话语来概括欧拉在数学发展史上的作用及其影响，因为欧拉几乎涉及了他所能涉及到的所有数学领域，从几何学到数论、组合，他的研究甚至还涉及到了机械学、流体力学和光学。欧拉对数学最大的贡献在于他对数论的研究，欧拉通过证明费马(Fermat)小定理等等数论命题，极大地发展了数论。而且数学家在微积分的基础发展出无穷级数、常微分方程、偏微分方程以及变分法等学科，而此时的概率论也由组合概率发展到分析概率的阶段，可以说，18世纪是分析数学形成的世纪。
    19世纪是数学蓬勃发展的世纪。数学中三个最重要的分支——分析、几何、代数都有了长足的发展。数学分析方面，除了确立微积分的现代形式并科学定义“无穷小量”外，还建立了对以后有重要应用的复变函数论。在几何学方面，非欧几何的诞生预示了其后的数学将越来越脱离“物理实在性”。微积分的严密化使“消失量的幽灵”——无穷小量得以重见天日，而康托(Cantor)对无限基数的研究更标志着数学的抽象程度不断升高。
    17世纪到19世纪，人类社会生产力的发展超过了以往几千年的积累，而数学也有了质的飞跃，这个时期的数学，常常被称为“变量数学”。
现代数学时期（19世纪末至今）
    20世纪更是一个值得载入史册的世纪。1900年，希尔伯特(Hilbert)提出了著名的23问题 ，指明了数学发展的方向。“形式主义”、“逻辑主义”、“直觉主义”关于数学基础的大讨论更体现了人们对数学本身的认识水平在不断提高。希尔伯特的《几何基础》可以称为数学史上第三个具有重要意义的里程碑。虽然哥德尔(Gödel)不完全性定理打破了人类希望创造完美数学的美梦，但也为数学的发展起到了极大的推动作用。电子计算机的出现是本世纪最重要的科技成果之一，而电子计算机与数学的结合更显示了无穷的威力，“四色问题”的证明就得益于电子计算机强大的运算功能。
    现代数学的几个显著特点是：
    纯数学更加抽象，分支增多而又互相渗透。
    现代数学以集合论为基础，以结构为对象。
    重视数学基础和数学哲学问题的深入研究。
    数学公理化是数学家追求的重要目标之一。
    新的分支大量产生，研究更为深入、广泛。
    电子计算机的产生与发展改变着数学的历史。