先概括一下本文的基本思路．本文将围绕课堂教学，讲四个方面：教学的起点，教学的目标，教学的方式，教学的境界．也就是我们的课堂教学，应该从哪里开始(起点)，要到哪里去(目标)，从起点到目标应采用怎样的路径(方式)．回答了这三个问题，人们自然要追问，为什么是这样的，而不是那样的，这就涉及到教学的境界，也就是我们对课程功能、对数学教育价值的基本认识．

在具体表述上，我将采用这样的句型："不只是…，还应该…"．用这样的句型，把以学生为本理念下的数学教学和传统的课堂教学作一比较．

1 教学的起点：不只是关注知识．从知识的逻辑出发，还应该关注现实，从学生的经验出发

比如讲"有理数的乘法"．数学的逻辑是什么呢?就是以法则为依据，因此关键是记住法则，然后把法则算法化，再进行大量的训练．这样的教学，学生虽然掌握了知识，会做有理数的运算，但是，我们却失去了很多东西．比如，在法则生成过程中，对数学的体验和数学发现的经历，甚至对法则的真正理解．这使我们联想到一个故事：2001年春节前夕，著名农学家袁隆平先生来到武汉，谈到了他在武汉读中学时的经历，他就说过，"我一直没有弄清楚，为什么负负得正?"大概是出于科学家的执著，他问过中学老师．老师说：这是法则，你记住就行了．他还问过吴文俊先生，吴先生笑而不答．如果用数学的逻辑来考究，老师的说法是对的．因为法则是人类的规范，是需要记住的．至于为什么这样规定，很难作出理性的回答，任何回答都可能偏离数学的本质，偏离真正的理由．同样，用数学的逻辑来考究，吴文俊先生也只能笑而不答．因为数学家是可以创立法则的．面对法则，数学家往往会说：这是一个规定．但是，考虑到学生的需求和发展，这样的回答，这样的教学是远远不够的．我们需要一种解释，一种关于这一规定合理性的解释，一种有助于揭示"法则"本质的解释，也就是我们有必要为"负负得正"寻求一个背景，建构一个模型．不再使那些肯于寻根问底的青少年为此而苦于思索．其实，生活中这样的模型是很多的，只是在传统教学的环境下，我们缺少这种发现的眼光．比如蜗牛运动，水位涨落，企业负债等．

例1 蜗牛运动．

设蜗牛现在的位置为点O，每分钟爬行2cm，问

①向右爬行，3分钟后的位置?

②向左爬行．3分钟后的位置?

③向右爬行，3分钟前的位置?

④向左爬行，3分钟前的位置?

比较①、②，有方向的区别，若把向右爬行2cm，记为+2cm，则向左爬行2cm，记为一2cm．

比较①、③，有时态的区别，将来时，3分钟后记为+3；过去时，3分钟前记为(一3)．

不难知道，这4个问题的算式分别为2×3，(一2)×3，2×(一3)，(一2)×(一3)．

在④中，蜗牛向左爬行，现在的位置为点O，3分钟前应在刻度6处，可见(一2)×(一3)=6，负负得正．

例2 企业负债．某亏损企业，近十年来每年负债2万元．假定2004年底该企业的财产为O，照此计算

①2007年底该企业的财产为多少元?

②2001年底该企业的财产为多少元?

2001年相对2004年，应记为-3，这样2001年该企业的财产应为(-2)×(-3)万元；另外由2004年逐年倒推到2001年，可知2001年的财产为6万元，即(-2)×(-3)=6．

从这些现实的问题出发，不难概括出"负负得正"的法则．

这里所说的模型，所产生的问题，就构成我们教学的起点．

从这个活动中，学生所获得的绝不仅仅是知识，是法则，还包括发现数学、探究数学的体验，包括对数学价值的认识．

教学要从现实出发，要从学生的经验出发．

这里的现实包括生活的现实、社会的现实，正是这些现实，构成了知识的生态环境，它是知识产生、生存，并具有生命力之所在．

这里的经验，不仅包括学习经验，还包括生活经验．如果承认学生的主体地位，承认以学生发展为本，你就得承认，学生的经验是教学的出发点．

2 教学的目标：不只是单一目标，而是三维目标

单一目标，就是以知识为中心．三维目标，包括知识与技能，方法与过程，情感态度与价值观．关于三维目标，虽然商榷者不少，但有一点是可以达成共识的，那就是要全面体现数学的价值，学生在数学学习中，除了获得知识，掌握数学事实之外，还有一些重要的东西。诸如能力、意识、视野和个性发展等．至于如何表述得准确，那是另外一回事．我们不能因为表述上的争议，或者评价上还缺乏有效的手段，而忽视学生在获得数学理解的同时，可以在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到发展．

三维目标不是三块，而是一个整体．把它们拆开讨论是研究层面的事。但在实践层面上必须三维一体．在这三维一体中，知识不是中心，而是载体．能力问题、情感问题是依附于知识的发生发展过程中的，是在探索知识的过程中得以形成和发展的．能力、情感不能像知识那样搞课堂达标，它需要一个比较长的阶段，通过教师利用课程资源去熏陶，由学生去体验，通过潜在的积累而获得．

比如，你要培养学生抽象概括的能力，你的教学就应该有一个"抽象概括"的过程，这个过程并非一朝一夕．以函数为例，函数观念的形成，应该说发韧于小学．

小学做了些什么呢?①从认识上，要求学生去发现事物的规律，初步知道事物之间是有联系的；②从素材上，积累一些资料：如圆面积与半径的关系，商品价值与数量的关系等．这些都是函数教学非常重要的感性材料．

初中，从现实材料出发，探讨其中的变量关系，强调"一个变化过程中的两个变量"，它们之间的依赖关系，用变量的观点定义函数．在这一过程中，学生对函数有了初步认识．与此同时，也可能伴随产生一些不够准确的观点，如：函数是随着自变量的变化而变化的，函数与自变量的关系是由某种法则决定的等。

高中，从更为丰富的材料出发，对我们已有的一些认识重新审视，对"变量说"进行批判，运用集合的语言，建构函数的映射说，用映射的观点定义函数。

值得我们深思的是：我们明明知道初中的教学容易把学生引向"变量说"，为什么不加以避免，一定要让学生经历由"变量说"到"映射说"的过程?这说明函数观念的形成是一个较长的过程，任何跨越这个过程的企图都是违背教学规律的．正如维特根斯坦所说：人们一定是从错误开始，然后由此转向真理。…要让人相信真理，仅仅说出真理是不够的，人们还必须找到从错误到真理的道路．

再比如，你要提高学生的空间观念，你就得让学生想象，我们讲空间与图形，就得先给学生提供大量的模型，让学生观察：从不同的方向看，把观察的结果用三视图表示；让学生操作：把它展开，画出侧面展开图；让学生抽象，发现构成几何体的基本元素：点、线、面；让学生分析：体由面围成，面由线围成；面和面交成线，线和线交成点；点动成线，线动成面，面动成体。随着这个过程，我们会逐渐摆脱模型的束缚．当模型不在场的时候，我们靠什么呢?靠想象．但前面那些过程是不容跨越的，跨越了就失去了想象的基础。现在，假定我们要求九年级的学生把一个简单的三视图还原成几何体就需要想象，圆与直线从相离到相割要经历相切那一瞬间，等等．这样的经历是不容他人替代的．比如，在有些情况下，我们的教师为了省时、省事，把其中的关键告诉了学生，或者通过多媒体显示，向学生展示了其中的基本图形．这会是什么结果呢?学生也许会一听就懂，一看就会，但却失去了一次想象的机会．这就是我们"不提倡利用计算机演示来代替学生的直观想象"的道理．

现在的问题是，三维目标．三维一体，在教学上如何操作呢?我们不妨以"负数"的教学为例作一比较。

我们可以这样讲：同学们，今天我们讲负数，负数是什么呢?是为了表示具有相反意义的量，比如收到5元钱，我们记作+5，付出5元钱，我们记作一5，等等，这就是负数．

我们还可以这样设计：先给出一个引例，由此引出负数的概念，对概念进行分析，继而给出例子加深对负数的理解．

这里，不论是直奔主题，还是从引例出发，所表现的都是单一目标．为了体现三维目标，我们可以这样设计：

首先，必须让学生置身于现实生活，通过丰富的实例，让学生感受到现实生活中存在着大量的具有相反意义的量，比如输赢、收支、盈亏、增减、上升下降、以前以后等．先要给学生这样的感觉：满世界都存在着这样的量，它们具有相反意义．

然后让学生知道这些量是需要表示的，我们还不会表示呢!如何表示呢?这就是一个问题．原来，我们可以用整数、分数来表示一些事物，现在却遇到了问题．从而促使学生产生一种内在需求，一种困惑：原来的数怎么不够用了，不够用了怎么办?这又把问题推进了一步，接下来就研究这样的问题．

不够用了怎么办?需要引进新的记法．如何引进新的记法呢?这就需要探索、尝试、比较、逐步实现目标．学生的经验，学生的观察、学生的智慧，就在这里交流着，碰撞着，最后找到真理．

我们来反思一下，上述过程，就是负数形成的"一个"过程，也是数学发现的过程．通过这个过程，激活了负数的概念，使它真正成为有意义的东西．也正是在这一过程中，学生体验了数学与人类生活的联系，数学活动中充满了探索．在这一过程中，我们还可以体会人类智慧的伟大．你看，数不够用了怎么办?在原有数前面添加一个符号，就解决了"具有相反意义"的问题，这就是人类的创造．你不要小看它，当年哥仑布发现了新大陆，很多达官显贵都流露出一种不屑的情绪．哥仑布拿出一个熟鸡蛋，问谁能把它直立在桌面上，那些说是论非的先生们只得面面相觑．哥仑布只是让鸡蛋的顶端在桌面上敲击了一下，就把它直立在了桌面上．这就是创造，因为它具备创造的基本特征．

同样，在负数的教学中，我们不是也可以激起对人类创造的敬意吗?你看，在这个过程中，既有知识的获得，又有能力的生成，还有情感的体验，三维一体．这里的核心就是过程．只有在"过程"中，才可以获得知识，才可以形成能力，才可以激发情感．

3 教学方式：不只是让学生记忆、模仿和接受，还应该引导学生独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学

只依赖于记忆、模仿和接受的教学不利于实现课程目标．下面的案例很能说明问题：

例3 某公园有一圆形水池，现要沿水池一圈增设栏杆，因此需要知道水池的周长．如何求它的周长呢?

我们发现许多初中同学不能解这个问题，为什么呢?因为在他们看来，要求周长，必须先知道半径，而要测量水池的半径一时又有困难．但一个普通的工人却非常容易的解决了这个问题，因为只要有足够长的绳子，就可以沿水池一周把它测量出来．

问题是：为什么面对现实世界中的周长问题，我们想到的是周长的计算公式，而不是周长的本来意义?我们学周长公式的意义何在，为什么学周长公式的结果与我们解决问题的初衷背道而驰?难道计算周长不是现实的需要，现实中的周长不可以直接测量吗?

显然，出现这种现象与单纯的接受式学习是分不开的．试想一下，如果我们的教学从问题出发，从确立求周长的目标意识出发，给学生以思考的机会、探索的机会、实践的机会，让学生经历由测量到探求周长与半径关系的过程，学生还会对这样的现实问题束手无策吗?当然这只是极特殊的个例，但愿不会发生．

教学的实践表明，只要我们在教学中注意引导学生独立思考、自主探索、动手实践、合作交流，学生中就会焕发出无穷的智慧和创造力．请看下面一个案例：

例4 求一块不规则图形的面积．(九年级研究课)这与数学中的常规问题是不同的，我们在数学中面对的一般都是规则图形，可以直接用公式计算，或者通过适当割补后再用公式计算．如何解决这一问题呢?我们把它交给学生，竟然得到了如下一些成果：

方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个"单位面积"．

方法2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近．

方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔"点"(如小石子等小颗粒)，当点数P足够大时，统计落入不规则图形中的点数A，则图形的面积与正方形面积的比约为 ．

方法4"称量"面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是 ．

我们注意到，这里的每一种方法都有极其深刻的背景：方法l涉及到一个重要思想--面积公理，方法2体现了朴素的极限思想；方法3属于概率统计方法，数学史上被称为"蒙特卡罗方法"；方法4类似于阿基米德称皇冠的方法．看来老师要做的，就是欣赏学生的智慧，把学生的想法提升到一个新的境界．

这样的教学，强调的基础是：学生的认知发展水平和已有的知识经验；坚持的方式是，给学生提供机会：独立思考的机会，自主探索机会和合作交流的机会．期待的目标是，让学生在真正理解和掌握知识的同时，获得数学活动经验．数学教学的一个重要原则是鼓励富有个性的学习，倡导主动、探究、合作．为此，教学的关键是创设合适的问题情境，从问题情境出发，建立模型，进而解释、应用与拓展．

前述关于"负数"的教学就是如此．下面再看一例：

例5 三点确定一圆．传统的教法往往是一串问题：过一点可以作几个圆?过两点可以作几个圆?过三点呢?它们是问题，但不构成情境．我们不妨设置如下的问题情境．有A、B、C三户人家，现要挖一口井，使这三户人家到这口井的距离都相等，这口井应挖在何处?

这个问题看似与圆无关，但要A、B、C到井O等距，A、B、C应该在同一个圆上，0应该是这个圆的圆心．这样，从这个情境中，自然产生两个数学问题：①三点是否在同一个圆上?②如果在同一个圆上，如何确定圆心的位置?

问题情境，既是独立思考的前提，也是合作探究的前提．合作探究与原有的分组学习是不同的．原有的分组学习往往把学习水平和兴趣基本相同的同学分在一起．合作探究则不然，一般要求"组间同质，组内异质"．也就是组与组之间的差异尽可能小，便于在同等水平上竞争．而组内，则容许有不同的水平，不同的兴趣，不同的性格特点，不同的学习方式并存，从而优势互补，形成完整的人格．回顾前述例4的成果，其中的4种方法，既有确定性思维，也有统计性思维，既有逻辑推演，也有实践操作．如果不在"组内异质"的条件下，尊重每一位学生的个性，是很难充分发挥它的教育价值的．综上，我们造了三个句子，"不只是…，还应该…"．为什么要这样说，不那样说，要提倡这些，不提倡那些?这就有必要讲第四点．

4 教学境界：不只是知识本位，学科本位，而应该是以人为本，立足于发展和完善人的高度

只有站在这样的高度，我们才能理解，为什么教学的起点，教学的目标，教学的方式会发生变化．为此，我们不妨对这次课程改革作一个框图式的说明．我们经常提到一些变化，诸如观念的变化，教学行为的变化，角色的变化，学习方式的变化等，这些变化是由什么引起的呢?是由课程功能决定的．因此--

首先是课程功能的变化．应该认识到，任何一门学科的教育都是整个教育的组成部分．数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中，在形成人们认识世界的态度和思想方法方面，在推动社会进步和发展的进程中起着重要作用．不再是以学科为中心，而是以学生为本，不再是唯学科而学科，而是实现学生的全面、持续、和谐的发展．反映在具体目标上，就不应该是单一目标，而是三维目标．课程功能的变化，必然导致学习方式的改革，导致教学方式的改革．为什么?因为我们一直沿袭的方式是接受式，所谓传道、授业、解惑，这一套办法，一般只能指向知识与技能，一旦涉及到人的品质的核心部分，接受式学习已经无能为力，只有通过感悟、体验和反思才能得到发展．因此，需要改善学习方式．

同样由于课程功能的变化，必然导致学习领域的更新，这里包括两个层面，一是引进现代内容，二是经典内容的重新定位．进一步，课程功能的变化，学习方式的变革，课程资源的更新，也将引起评价的改革．为了保证上述课程功能、学习方式、学习领域的改革，需要什么呢?需要政策的支持．一个重要的课程政策，就是三级课程：国家课程、地方课程和校本课程．特别地，通过扩大校本课程，逐步培养起学校自主开发、整合课程资源的能力．因为只有每个学校每位教师都具备了这种能力，才能保证高质量的教育，这对我们每个教师来说，都是一次机会．

当前，数学课程改革引起了社会各界的关注，出现了诸多争论，也给第一线的教师带来了一些困惑，这就要求我们站在以人为本，发展和完善人的高度，正确处理好教学中的若干关系，主要的有如下两点：

一是既要坚持课程改革的基本方向，又要注重继承人类的文化遗产．比如如何面对接受式学习，如何处理好继承和创新的关系?倡导学习方式的改变，不是不要传统．新课程也把"知识和技能"作为重要的目标，而知识，特别是事实性知识，是可以让学生运用接受的方式进行学习的．

比如，一个负数如何写?集合如何表示?怎样作出函数的图象?分数指数幂和负数指数幂是什么意思?如何进行幂的运算?这些，你可以让学生思考，也可以让学生通过现实的需要说明规定的合理性，但你最终还是要把明确的结论告诉学生，这是人类的文化遗产．如果我们不把这样的东西传递给学生，不遵循这样的规则就无法交流．接受式学习的作用在于引导学生在尽可能短的时间获得尽可能多的知识和技能，但它容易导致学习者的被动，学习过程的消极．

设想一下，一个小孩从进入小学到中学共12年时间，长期以听讲、记忆、模仿、练习等方式学习的话，怎么能指望他的未来善于独立思考，能富有个性和充满自信·能有强烈的社会责任感．

因此，课程改革要改变的是过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，并不意味着完全放弃．这说明，面对一节具体的课，教师可以有多种选择、多种设计，但是你必须有一种内在的品质，那就是对学生能力的关注，对情感态度和价值观的关注，注意教育价值始终是教学设计的灵魂．

二是既要强调"生活经验"，又要立足于理性精神的培养．

如几何，我们强调立足丰富的图形世界，了解我们的生活空间，但我们最终还是要培养起逻辑推理的能力；我们提倡观察、操作，但最终还是要形成空间观念，培养起一种想象力；我们会从学生的实际出发降低证明的要求，但我们又必须让学生认识证明的必要性，由单纯的演绎推理转向更多的合情推理，由单纯的推理转向全面的教育价值．

这个关系怎样处理?在课堂上，我们可以让学生游戏，让学生实验，让学生动手操作．但它和一般的游戏是不同的，一般的游戏只是为了引发兴趣；和一般的实验是不同的，一般的实验是为了验证假设；和一般的操作也是不同的，一般的操作只是为了完成具体事项．但几何中的游戏、实验、操作是为了促进学生的思维发现，为理性的东西提供直观的素材，最终抵达理性精神．数学教学的艺术就在这里，我们说淡化形式，但最终还是要抵达完美的形式．比如讲对顶角相等，你可以让学生测量，也可以让学生折叠，甚至通过观察也可能得到结果．

在你的课堂上，学生活动了，思考了，也得到了结果，是不是就是一堂好课呢?不是．因为一个可以促进学生理性精神的机会被你忽略了．你还应该告诉学生，这只是一个发现的过程，得到的只是一个猜想，为了确认它，我们还需要证明．一种严谨的态度、一种实事求是的精神就是在这种潜移默化中形成的．那么你能够证明"对顶角相等"吗?这就需要观察．

事实上，它们可以看成一个平角减去一个公共角，把它用数学语言表达出来，就是我们所需要的证明．这里，观察、实验、猜想、证明，一个也不能少．也就是说，我们同样不能为了所谓最终目标，就把结果告诉学生，然后启发他们去证明．因为这样的话，就失去了体验，失去了发现的经历．可见我们在构建符合现代理念的教学方式时，要注意全面体现数学的教育价值．

当我们关注生活世界的时候，不要忘了数学世界的基本要求．有位教师讲"代数式的求值"，为了给数学赋予现实意义，选用身高的预测公式，根据父母的身高z，．)，来计算子女的身高．可是问题来了：学生无法相信这个数学模型．我们知道，"代数式的求值"是确定性数学，预测公式是统计性问题．当学生对统计观念还缺乏基本认识的时候，我们怎么可以选用这样的材料呢?

这说明，我们在选取生活中的素材时，必须坚持数学的本质，有助于学生对数学的真正理解．我们曾目睹过电视上的一次概率课．学生在课堂上抛硬币，并记录可能的结果．当时我就在想，仅靠抛掷硬币的试验，学生真的可以感受到随机性与等可能性吗?有多少苹果落地，而能想到万有引力的，只有牛顿．可见，我们强调的每一个要素都不能概括数学教学的全部．

同样，本文所及的四个方面，也不能概括数学教学的全部，更不在于给课堂教学描绘出一个理想状态．我所要表达的只是我们在传统教学中做得不够，而现在需要加强的东西．也许，对于课程改革，我们正需要这样的心态．